Socrate:Un segment unité étant choisi sur une droite, si on le reporte deux, trois, quatre....fois on obtient alors les longueurs mesurées par les nombres 2,3,4 etc. Le sais tu ?
Le serviteur: Je le sais
Socrate: Et sais tu aussi que la demi somme de deux d'entre eux est toujours comprise entre ces deux nombres. C'est à dire que si on considére les longueurs 3 et 4 par exemple, alors leur demi somme (3+4)/2 c'est à dire 7/2 est la mesure d'un segment dont la longueur est justement comprise entre les segments de longueurs trois et quatre ?
Le serviteur: Je le sais
Socrate: Et que la demi somme de 7/2 et 4 par exemple à savoir 15/4 est à nouveau un nombre compris entre 7/2 et 4.
Le serviteur: Bien évidemment
Socrate: Cette itération peut elle être ainsi continuée à l'infini ou bien doit elle à un moment prendre fin ?
Le serviteur: Elle peut évidemment être ainsi continuée à l'infini et c'est pour cette raison que les savants tels Pythagore ou Thalès disent qu'à toute longueur peut être associée une mesure obtenue en faisant le quotient de deux nombres entiers.
Socrate: Mais toi qu'en penses tu ?
Le serviteur: Je me garderai bien de penser différemment de tels savants!

Socrate: Sais tu que le quotient de deux nombres entiers s'appelle une fraction?
Le serviteur: Je le sais
Socrate: Et sais tu par exemple que la fraction 2/3 est la même que la fraction 4/6 ?
Le serviteur: Oui car , si je me souviens de l'enseignement de mon maître d'école, il est effectivement identique de prendre 4 morceaux d'une tarte qui a été partagée en 6, que de prendre 2 morceaux d'une tarte qui a été partagée en 3.
Socrate: Mais comment passe-t-on de 4/6 à 2/3 ?
Le serviteur: On divise le numérateur 4 et le dénominateur 6 par le même facteur . Ici par exemple ce facteur commun est 2.
Socrate: et comment s'appelle la fraction obtenue ?
Le serviteur: si on ne peut plus diviser numérateur et dénominateur par un même nombre on dit que la fraction a été mise sous sa forme irréductible.
Socrate: convenons alors que chaque fois que nous parlerons de fraction, nous ne considérerons que des fractions irréductibles.
Le serviteur: soit

Socrate: Puisque tu as cité Pythagore, tu sais qu'il a trouvé que dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.
Le serviteur: Tout écolier sait cela.
Socrate: Traçons la diagonale d'un carré de coté l'unité. Elle partage ce carré en deux triangles rectangles dont les cotés sont de mesure 1.
Le serviteur: Certes
Socrate: Et la somme des carrés de leurs deux cotés vaut 1²+1²=1+1=2
Le serviteur: Oui
Socrate: Supposons alors que la longueur de cette diagonale soit mesurée par la fraction p/q. Son carré est p²/q² et d'après le théorème que tu m'as cité il faut donc qu'il soit égal à 2
Le serviteur: Forcément
Socrate: Il nous faut donc chercher des entiers p et q tels que p²/q²=2 . Pour simplifier nous multiplierons par q² des deux cotés ce qui va nous donner l'égalité plus simple p²=2q²
Le serviteur: Effectivement

Socrate: p est donc n'importe quel nombre entier tel que 7893 par exemple, et p² est son carré c'est à dire 7893x7893
Le serviteur: oui
Socrate: mais alors quel sera le dernier chiffre de p², celui qu'on appelle chiffre des unités ?
Le serviteur: bien évidemment il provient de 3x3 et sera donc 9
Socrate: pareillement si le dernier chiffre de p est l'un des chiffres
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 alors le dernier chiffre de son carré p² sera respectivement 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1
Le serviteur: cela ne fait aucun doute
Socrate: il en sera de même pour les derniers chiffres de q et de q²
Le serviteur: mais oui.
Socrate: et alors quel sera le dernier chiffre de 2q² ?
Le serviteur: si nous multiplions par 2 les possibilités de derniers chiffres pour p² nous trouvons alors respectivement 0,2,8,8,2,0,2,8,8,2 qui sont les possibilités de derniers chiffres pour 2q².
Socrate: parfait. Mais alors puisque p² et 2q² sont égaux, ne doivent ils pas avoir le même dernier chiffre ?
Le serviteur: obligatoirement
Socrate: mais puisque pour p² ce dernier chiffre est au choix 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1 et que pour 2q² ce dernier chiffre est au choix 0,2,8,8,2,0,2,8,8,2 ne remarque tu pas que nous arrivons de façon étonnante à une seule possibilité ?
Le serviteur: oui. Nous observons qu'il faut obligatoirement que ce dernier chiffre soit 0 car il est la seule possibilité qui se trouve à la fois dans p² et dans 2q²
Socrate: Mais si le dernier chiffre de p² est 0 à quel dernier chiffre de p correspondait il ?
Le serviteur: A un dernier chiffre égal à 0 pour p, c'est à dire que p est un multiple de dix, c'est à dire à la fois un multiple de 2 et un multiple de 5.
Socrate: Et si le dernier chiffre de q² est 0, à quel dernier chiffre de q correspondait il ?
Le serviteur: On voit qu'il correspondait pour q soit à un dernier chiffre de 0 soit à un dernier chiffre de 5, c'est à dire que dans chacun de ces cas le nombre q est un multiple de 5

Socrate: Mais alors p et q sont tous deux divisibles par 5 ?
Le serviteur: C'est bien ce qui résulte de notre raisonnement.
Socrate: Mais ne te souviens tu pas que nous avons convenu de ne travailler qu'avec des fractions irréductibles, c'est à dire des fractions où le numérateur et le dénominateur n'admettraient pas de diviseur commun.
Le serviteur: Par Zeus je m'en souviens très bien
Socrate: Alors ne sommes nous pas fondés à dire qu'il ne peut pas y avoir de fraction p/q où p et q seront des nombres entiers, qui mesure la diagonale du carré, et que par conséquent cette mesure, contrairement à la croyance de ces grands savants que sont Pythagore ou Thalès, se situe en dehors des nombres que nous connaissons ?
Le serviteur: Et oui absolument

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