Socrate:  Sais tu que les figures planes, telles les triangles, les rectangles et autres, limitées par des segments s'appellent des polygones?
Le serviteur: Je le sais
Socrate: Et sais tu que lorsque ces polygones ont tous leurs cotés et leurs angles égaux, tels le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, l'hexagone régulier, on les appelle polygones réguliers ?
Le serviteur: Je le sais aussi
Socrate: Mais combien y a t il en tout de polygones réguliers ?
Le serviteur:  Manifestement autant que l'on veut puisque leur nombre de cotés peut être aussi grand que l'on veut.
Socrate: Et dans l'espace sais tu que les figures solides telles les pyramides, les cubes et autres s'appellent des polyèdres ?
Le serviteur: Je le sais
Socrate: Et sais tu que lorsque ces polyèdres ont tous leurs cotés et leurs faces égales tel le cube par exemple on les appelle polyèdres réguliers ?
Le serviteur: Je le sais aussi
Socrate : Mais alors combien y a t il en tout de polyèdres réguliers ?
Le serviteur: Vraisemblablement il va en être des polyèdres réguliers comme des polygones réguliers et ma pensée est qu'ils sont eux aussi en nombre infini.

Socrate: revenons aux polygones réguliers. Sais tu la valeur des angles du polygone régulier de trois cotés, le triangle équilatéral ?
Le serviteur: ils valent 60°
Socrate: et ceux du polygone régulier de quatre cotés, le carré ?
Le serviteur: ils valent chacun 90°
Socrate: et ceux de l'hexagone régulier si joliment fabriqué par les abeilles et qui s'obtient en accolant six triangles équilatéraux ?
Le serviteur: Manifestement 120° puisqu'ils sont l'accolement de deux triangles équilatéraux.
Socrate: ainsi plus le nombre de cotés augmente, plus la valeurs des angles augmente pareillement ?
Le serviteur: Cela semble effectivement le cas
Socrate: Mais dans notre progression, n'avons nous pas oublié quelqu'un?
Le serviteur: Le pentagone régulier qui a cinq cotés.
Socrate: Et quelle est la valeur de ses angles aux sommets ?
Le serviteur: Je n'en sais rien
Socrate: Mais puisque tu as convenu que ces valeurs vont en croissant et que pour le carré ,4 cotés, ils sont de 90° tandis que pour l'hexagone, 6 cotés, ils sont de 120°, tu conviens que cet angle inconnu pour le pentagone, 5 cotés, est entre 90° et 120° ?
Le serviteur: J'en conviens.  

Socrate: Dans un polyèdre il y a des sommets. Prenons celui de la très belle et grande pyramide d'Egypte. Sur ses quatre faces on s'aperçoit que les angles valent environ 60° ce qui fait un total de combien ?
Le serviteur: Si ces quatre angles font chacun 60°, il en résulte que leur valeur totale est de quatre fois cette valeur à savoir 240°.  
Socrate: Mais si, en gardant toujours la même base, le sommet de la grande pyramide d'Egypte avait été beaucoup moins haut , qu'en serait il advenu de ses angles de chaque face?
Le serviteur: Ils seraient manifestement devenus plus grands
Socrate: et qu'en serait il advenu de leur somme?
Le serviteur: elle aussi serait alors devenue plus grande.
Socrate: Mais entends tu par là qu'elle aurait pu devenir aussi grande que l'on aurait voulu ?
Le serviteur: Assurément non, car même à supposer que le sommet ait été rabaissé jusqu'au sol, elle ne pouvait pas dépasser 360°
Socrate: Par conséquent la somme des angles aboutissant à un sommet d'un polyèdre doit toujours ètre inférieure à 360°.
Le serviteur: C'est une nécessité évidente.

Socrate: revenons à nos polyèdres réguliers. Leurs faces sont des polygones réguliers. Quel est le plus petit de ces polygones ?
Le serviteur: le triangle équilatéral
Socrate: Et quelle est la mesure de ses angles ?
Le serviteur: 60°
Socrate: En un sommet d'un polyèdre peut on imaginer qu'il y ait seulement deux faces qui aboutissent ?
Le serviteur: C'est évidemment impossible car ces faces seraient plaquées l'une sur l'autre!
Socrate: Peut on alors imaginer qu'il y ait trois faces formées de triangles équilatéraux ce qui ferait en ce sommet un total angulaire de 180° ?
Le serviteur: absolument
Socrate: peut on imaginer, comme dans la belle pyramide d'Egypte, qu'il y en ait quatre ce qui, nous l'avons vu, ferait un total de 240° ?
Le serviteur: évidemment oui.
Socrate : peut on imaginer qu'il y en ait cinq ce qui ferait un total de 300° ?
Le serviteur: ma réponse est toujours oui.
Socrate: peut on imaginer qu'il y en ait six ce qui ferait un total de 360° ?
Le serviteur: cette fois ci ce n'est plus possible puisque nous avons vu que la somme des angles aboutissant à un sommet d'un polyèdre doit toujours ètre inférieure à 360°
Socrate: et peut on imaginer qu'il y en ait plus de six, c'est à dire sept, ou huit ou plus encore ?
Le serviteur: encore moins possible évidemment.
Socrate: Ainsi en un sommet d'un polyèdre dont les faces seraient des triangles équilatéraux, ne peuvent concourir que trois ou quatre ou cinq de ces triangles. Ce qui ne fait que trois possibilités ?
Le serviteur: j'en suis d'accord.

Socrate: passons au polygone régulier suivant, le carré. Ses angles font 90°. Peut on imaginer qu'en un sommet d'un polyèdre il en arrive trois, ce qui ferait un total de 270°
Le serviteur: oui, c'est possible
Socrate: C'est d'ailleurs ce qui se passe dans le cube. Mais peut on imaginer qu'il en arrive quatre ce qui ferait un total de 360° ?
Le serviteur: Impossible ici encore
Socrate: et impossible de même d'imaginer qu'il en arrive plus de quatre ?
Le serviteur: c'est évident
Socrate: par suite il n'existe qu'un seul polyèdre régulier dont les faces soient des carrés. D'ailleurs ce polyèdre nous le connaissons c'est le cube.
Le serviteur: oui

Socrate: passons au polygone régulier suivant: le pentagone régulier dont nous avons vu que les angles sont inférieurs à 120°. Peut on imaginer qu'en un sommet d'un polyèdre régulier il en converge trois ?
Le serviteur: Puisque ses angles sont inférieurs à 120° leur somme à trois sera inférieure à 360° et c'est tout à fait possible.
Socrate: Mais peut on imaginer qu'en un sommet d'un polyèdre régulier il en converge plus de trois ?
Le serviteur: encore moins possible que pour le carré.
Socrate: par suite il n'existe qu'une seule possibilité de polyèdre régulier dont les faces soient des pentagones réguliers ?
Le serviteur: C'est bien ce qui résulte de notre observation.

Socrate: passons alors au polygone régulier suivant: l'hexagone régulier dont les angles font exactement 120°. Peut on imaginer qu'en un sommet d'un polygone régulier il en converge trois?
Le serviteur: Non, car la somme ferait 360° ce qui est impossible comme nous l'avons vu.
Socrate: et pareillement pour tous les autres polygones réguliers à plus de six cotés ?
Le serviteur: apparemment oui.

Socrate: Ainsi, contrairement aux polygones réguliers du plan, il n'existe pas dans l'espace une infinité de polyèdres réguliers, mais il n'existe que cinq possibilités, à savoir, trois dont les faces sont des triangles équilatéraux, un dont les faces sont des carrés, et un dont les faces sont des pentagones réguliers.
Le serviteur: Eh oui, absolument !

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